Perhatian!Rumus error? gunakan google chrome atau firefox

Deret Fourier : Fungsi Periodik, Differensial dan Integral

Deret Fourier – dalam kehidupan sehari-hari banyak kegiatan kita yang melibatkan funsi priodik seperti dalam pengukuran gelombang, kelistrikan, bunyi dan lainnya. Dalam matematika fungsi priodik dipelajari jika anda membahas tentang sinus dan cosinus. Agar menambah pemahaman, dalam artikel ini kita akan bahas mengenai fungsi priodik sinus dan cosinus. Fungsi priodik juga dapat disebut sebagai deret fourier.

Fungsi f(x) dikatakan periodik dengan periode P, apabila untuk semua harga x berlaku: f(x+P) = f(x); dimana P adalah konstanta positif. Harga terkecil dari P > 0 disebut periode terkecil atau disebut periode dari f(x).

Contoh:

  • Fungsi sin x mempunyai periode 2π, 4π, 6π,…karena sin (x+2π) = sin (x+4π)= sin (x+6π)  =…=sin x
  • Periode dari sin nx atau cos nx: dengan n bilangan bulat positif adalah 2π/n
  • Periode dari tan x adalah π
  • Fungsi konstan mempunyai periode sembarang bilangan positif

DERET FOURIER Fungsi Periodik, Differensial dan Integral

Kontinuitas

Fungsi f(x) dikatakan kontinu pada setiap segmen (piecewise continuous function), bila f(x) hanya kontinu pada interval-interval tertentu dan diskontinu pada titik-titik yang banyaknya berhingga. Harga f(x) di titik-titik diskontinu ditentukan dengan menghitung harga limit fungsi f(x) untuk x mendekati titik diskontinu (ujung masing-masing interval)

Contoh Kontnuitas DERET FOURIER
Contoh Kontnuitas Deret fourier

Definisi Deret Fourier

Jika fungsi f(x) terdefinisi pada interval (-L,L) dan diluar interval tersebut f(x) periodik dengan periode 2L, maka deret Fourier atau ekspansi Fourier dari fungsi f(x) tersebut didefinisikan sebagai berikut:

Rumus Deret fourier

dimana koefisien Fourier \(a_n\), \(b_n\) ditentukan oleh:

Koefisien Deret Fourier an dan bn

Jika interval (-L,L) sembarang dan f(x) mempunyai periode 2L maka:Interval Deret Fourier

dengan C sembarang bilangan real. Jika C=-L maka rumus (4) dan (5) akan sama dengan (2) dan (3).

Syarat / Kondisi Dirichlet

menurut teorema Dirichlet, Deret Fourier konvergen apabila memenuhi syarat/ kondisi Dirichlet.

Teorema: 

Jika :

  • f(x) terdefinisi dan bernilai tunggal, kecuali pada beberapa titik yang banyaknya berhingga pada interval (-L,L)
  • f(x) periodik dengan periode 2L
  • f(x) dan f′(x) merupakan fungsi-fungsi yang kontinu pada setiap segmen pada interval (-L,L).

Dari teorema diatas, maka deret Fourier (1) dengan koefisien (2) dan (3) atau (4) dan (5) konvergen terhadap:

  • f(x), jika x merupakan titik kontinu pada interval (-L,L)
  • \(\frac {f(x^+)+f(x^-)}{2}\), jika x adalah titik diskontinu.

Contoh:

Tentukan deret Fourier dari :

contoh soal deret fourier

dan bagaimanakah f(x) harus ditentukan pada x=-5; x=0 dan x=5 agar deret Fourier tersebut konvergen ke f(x) pada interval (-5,5).

Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil

Fungsi f(x) disebut fungsi genap jika f(-x)=f(x) untuk setiap x. Fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika f(-x) = – f(x) untuk setiap x.

Contoh:

  • Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat genap merupakan fungsi genap. Jika f(x) fungsi genap maka

Fungsi Polinomial Deret Fourier

  • Fungsi polinomial dalam x yang suku-sukunya adalah x berpangkat ganjil merupakan fungsi ganjil. Jika f(x) fungsi ganjil maka

\(\int _{-a}^{a}f(x) dx=0\)

Deret Sinus dan Deret Cosinus Setengah jangkauan (Half-Range)

1. Fungsi genap:

Deret Sinus dan Cosinus Setengah Jangkauan

Jika f(x) fungsi genap maka \(b_n\)=0 sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung cosinus (suku-suku dari \(a_n\))

2. Fungsi ganjil:

Deret Sinus dan Cosinus Setengah Jangkauan - Ganjil

Jika f(x) fungsi ganjil maka \(a_n\)=0, sehingga yang muncul hanya suku-suku yang mengandung sinus (suku-suku dari \(b_n\))

Deret sinus dan cosinus setengah jangkauan adalah suatu deret fourier yang hanya mengandung suku sinus dan cosinus saja. Apabila diinginkan deret setengah jangkauan yang sesuai dengan fungsi yang diberikan, fungsi yang dimaksud biasanya hanya diberikan dalam setengah interval dari (-L,L) yaitu pada interval (0,L). Setengah lainnya yaitu (-L,0) ditentukan berdasarkan penjelasan fungsinya genap atau ganjil.

Kesimpulan :

  • Deret sinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:

♥  f(x) fungsi ganjil :

Deret Fourier Fungsi Ganjil

  • Deret cosinus setengah jangkauan adalah deret Fourier dengan:

♥  f(x) fungsi genap :

Deret Fourier Fungsi Genap

Latihan :

Ekspansikan f(x)=x; 0<x<2 ke dalam;

  1. Deret sinus setengah jangkauan
  2. Deret cosinus setengah jangkauan

Turunan Dan Integral dari Deret Fourier

Teorema:

Deret fourier f(x) diintegralkan dari a sampai x akan menghasilkan deret yang konvergen seragam terhadap \(\int_{a}^{x} f(x) dx\) yang dibuktikan oleh f(x) kontinu pada interval -L ≤ x ≤ L, dimana a dan x berada pada interval tersebut.

print

Tinggalkan Pesan

Loading Facebook Comments ...

Add a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Show Buttons
Hide Buttons
Read previous post:
10 Nama dan Tugas Malaikat Dalam Agama Islam

Nama dan tugas malaikat dalam Islam - Beriman kepada malaikat merupakan...

Stratified Random Sampling: Pengertian dan Konsep Dasar

Stratified random sampling adalah suatu teknik pengambilan sampel dengan memperhatikan...

Close