Deret Fourier adalah alat penting dalam matematika dan teknik yang digunakan untuk merepresentasikan fungsi periodik sebagai penjumlahan sinus dan cosinus. Konsep ini menjadi dasar dalam analisis sinyal, sistem getaran, dan solusi persamaan diferensial.
Berikut cakupan bahasan artikel ini:
Pengertian Deret Fourier
Deret Fourier adalah representasi dari suatu fungsi periodik dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi sinus dan cosinus. Konsep ini dikembangkan oleh Jean-Baptiste Joseph Fourier, seorang fisikawan Prancis, yang menunjukkan bahwa fungsi periodik dapat diuraikan menjadi komponen-komponen gelombang dasar.
Secara umum, jika suatu fungsi \( f(x) \) memiliki periode \( 2\pi \), maka fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:
\[ f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx) \right) \]
Di mana:
- \( a_0 \) adalah koefisien konstanta
- \( a_n \) adalah koefisien cosinus untuk harmonik ke-n
- \( b_n \) adalah koefisien sinus untuk harmonik ke-n
Fungsi Periodik dan Syarat Dirichlet
Fungsi yang dapat direpresentasikan dalam deret Fourier umumnya adalah fungsi periodik, yaitu fungsi yang memenuhi syarat:
\[ f(x + T) = f(x) \]
Untuk setiap nilai x dan T adalah periode dari fungsi tersebut. Namun tidak semua fungsi periodik memiliki deret Fourier. Agar fungsi dapat dikembangkan dalam bentuk deret Fourier, harus memenuhi syarat Dirichlet sebagai berikut:
- Fungsi harus terdefinisi secara tunggal dan memiliki batas pada interval tertentu
- Fungsi boleh diskontinu, tetapi hanya memiliki sejumlah diskontinuitas terbatas
- Fungsi memiliki sejumlah ekstremum terbatas
- Fungsi integrabel dalam intervalnya
Koefisien Deret Fourier
Koefisien-koefisien dalam deret Fourier dihitung berdasarkan integrasi fungsi terhadap basis sinus dan cosinus. Rumusnya sebagai berikut untuk interval \([-L, L]\):
Koefisien konstan:
\[ a_0 = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \, dx \]
Koefisien cosinus:
\[ a_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \cos\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \]
Koefisien sinus:
\[ b_n = \frac{1}{L} \int_{-L}^{L} f(x) \sin\left( \frac{n\pi x}{L} \right) dx \]
Di mana \( n \) adalah bilangan bulat positif, dan L adalah setengah periode dari fungsi.
Jenis-Jenis Deret Fourier
1. Deret Fourier Kompleks
Selain bentuk trigonometri, fungsi periodik juga dapat direpresentasikan dalam bentuk kompleks dengan eksponensial Euler. Rumus umumnya:
\[ f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega x} \]
Dengan:
- \( c_n \) adalah koefisien kompleks
- \( \omega = \frac{2\pi}{T} \) adalah frekuensi sudut dasar
Koefisien \( c_n \) dihitung sebagai:
\[ c_n = \frac{1}{T} \int_{T} f(x) e^{-i n \omega x} dx \]
2. Deret Fourier Cosinus dan Sinus Saja
Jika fungsi memiliki simetri tertentu, deret Fourier bisa disederhanakan:
- Fungsi genap → hanya menggunakan cosinus (karena cosinus juga genap)
- Fungsi ganjil → hanya menggunakan sinus (karena sinus adalah fungsi ganjil)
Sifat-Sifat Deret Fourier
Beberapa sifat penting dari deret Fourier yang sering digunakan dalam analisis:
- Linearitas: Deret Fourier dari \( af(x) + bg(x) \) adalah penjumlahan dari masing-masing deret Fourier dikalikan koefisiennya
- Ortogonalitas: Fungsi-fungsi sinus dan cosinus ortogonal satu sama lain dalam interval tertentu
- Parseval’s Identity: Menyatakan bahwa energi total dari fungsi sama dengan jumlah kuadrat dari koefisien deret Fourier
Contoh Soal dan Penyelesaian Deret Fourier
Contoh Soal:
Tentukan deret Fourier dari fungsi periodik berikut pada interval \([- \pi, \pi]\):
\[ f(x) =
\begin{cases}
0, & -\pi < x < 0 \\
1, & 0 < x < \pi
\end{cases} \]
Penyelesaian Singkat:
- Karena fungsi tidak genap maupun ganjil, gunakan rumus lengkap untuk \( a_0 \), \( a_n \), dan \( b_n \)
Hitung:
\[ a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) dx = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} 1 dx = \frac{\pi}{\pi} = 1 \]
Untuk \( a_n \):
\[ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \cos(nx) dx = 0 \quad \text{(karena integral cosinus dari 0 ke π adalah 0)} \]
Untuk \( b_n \):
\[ b_n = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(nx) dx = \frac{1}{\pi} \left[ -\frac{\cos(nx)}{n} \right]_0^{\pi} = \frac{2}{n\pi} (1 – (-1)^n) \]
Karena \( (1 – (-1)^n) \) bernilai nol untuk n genap dan 2 untuk n ganjil, maka hanya n ganjil yang memiliki nilai:
\[ b_n = \frac{2}{n\pi} \quad \text{untuk n ganjil} \]
Jadi, deret Fourier dari fungsi di atas:
\[ f(x) = \frac{1}{2} + \sum_{n=1,3,5,\dots}^{\infty} \frac{2}{n\pi} \sin(nx) \]
Hubungan Deret Fourier dengan Differensial
Deret Fourier juga memiliki aplikasi penting dalam menyelesaikan persamaan diferensial parsial (PDE). Salah satu contohnya adalah dalam persamaan panas satu dimensi dan gelombang.
Contoh: Untuk menyelesaikan PDE seperti:
\[ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \]
Dengan kondisi batas tertentu, fungsi solusi \( u(x,t) \) dapat diuraikan dalam deret Fourier sehingga transformasi ruang menjadi mudah dan solusi dalam waktu dapat ditemukan dengan metode pemisahan variabel.
Hubungan Deret Fourier dengan Integral
Integral sangat penting dalam perhitungan koefisien deret Fourier. Koefisien seperti \( a_n \), \( b_n \), dan \( c_n \) semuanya diperoleh dengan integral tertentu dari fungsi terhadap basis trigonometri. Ini adalah alasan mengapa pemahaman integral definite sangat diperlukan sebelum mempelajari deret Fourier.
Aplikasi Deret Fourier di Dunia Nyata
- Analisis Sinyal: Digunakan untuk memecah sinyal kompleks menjadi komponen frekuensi
- Teknik Telekomunikasi: Digunakan untuk modulasi sinyal dan pengolahan sinyal digital
- Fisik dan Teknik: Analisis getaran, suara, struktur bangunan
- Pengolahan Citra: Transformasi Fourier digunakan untuk pemrosesan gambar dan kompresi
- Medis: Digunakan dalam MRI dan pemrosesan sinyal EKG/EEG
Perbandingan Deret Fourier dan Transformasi Fourier
| Aspek | Deret Fourier | Transformasi Fourier |
|---|---|---|
| Jenis Fungsi | Fungsi periodik | Fungsi tak periodik |
| Bentuk Representasi | Jumlah diskrit dari sin dan cos | Integral kontinu dari eksponensial kompleks |
| Aplikasi | Analisis sinyal periodik | Sinyal umum, analisis frekuensi |
Kesimpulan
Deret Fourier adalah konsep mendasar yang memungkinkan fungsi periodik direpresentasikan sebagai penjumlahan dari fungsi-fungsi sinusoidal. Dengan memahami koefisiennya, syarat-syarat konvergensi, dan aplikasinya dalam diferensial serta integral, kita dapat memanfaatkannya dalam berbagai bidang teknik dan ilmu terapan. Keunggulan deret Fourier terletak pada kemampuannya menangkap informasi frekuensi dari sinyal dan menyederhanakan penyelesaian masalah dalam domain waktu menjadi domain frekuensi.
