Integral Tak tentu dan Integral Tentu – Pada kesempatan kali ini akan dibahas mengenai materi integral. Setelah mempelajari dan memahami materi turunan/diferensial, maka sudah tidak sulit lagi untuk mempelajari materi integral. Karena integral dan turunan merupakan materi yang saling berkaitan.

Pengertian integral adalah invers (kebalikan) dari pendiferensialan. Jika F(x) adalah fungsi umum yang bersifat  maka F(x) merupakan himpunan anti-turunan atau himpunan pengintegralan.

Integral merupakan sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan merupakan kebalikan dari diferensial atau turunan biasa juga disebut anti turunan. Integral dikembangkan karena alasan banyak matematikawan yang kesulitan menyelesaikan permasalahan yang berkebalikan dengan masalah turunan.

Sumber id.wikipedia

Integral Tentu dan Integral Tak tentu

Himpunan integral fungsi f(x) dinotasikan dengan:

\( \int f(x) dx\)

Dibaca integral f(x) terhadap x, dan disebut integral tak tentu.

Integral tak tentu f(x) merupakan suatu fungsi umum yang ditentukan melalui hubungan.

\(\int f\left( x\right) dx=F\left( x\right) +c\)

Dengan f(x) = integran

F(x) = fungsi integral umum

c = konstanta pengintegralan.

Andaikan f(x) dan g(x) mempunyai integral tak tentu dan andaikan k adalah suatu konstanta, maka berlaku sifat-sifat berikut:

  1. \(\int k. f\left( x\right) dx=k.\int f\left( x\right) dx\)
  2. \(\int [f(x)+g(x)]dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx\)
  3. \(\int [f(x)-g(x)]dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx\)

Adapun aturan integral tak tentu dari fungsi aljabar, semisal a merupakan konstanta bilangan real sembarang:

  1. \( \int  dx=x+c \)
  2. \( \int  a. dx=ax+c \)
  3. \( \int x^{n}dx=\frac {1}{n+1}x^{n+1}+c \) dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1
  4. \( \int a.x^{n}dx=\frac {a}{n+1}x^{n+1}+c \) dengan n bilangan rasional dan n ≠ -1

Pada integral tak tentu dari fungsi trigonometri, juga berlaku aturan-aturan berikut:

Integral tentu dan Integral tak tentu

Baca Juga : 

Contoh Soal Integral

Untuk lebih memahami sifat-sifat, serta aturan integral tak tentu dari fungsi aljabar ataupun fungsi trigonometri, cermati dan pahami dari contoh-contoh soal berikut.

Contoh soal 1.

[Contoh soal Ebtanas 1995]

Hasil dari \( \int (3x²-4x+5)dx \) adalah

    1. \( 2x³-4x²+5x+c\)
    2. \( 2x³-2x²+5x+c\)
    3. \( x³-2x²+5x+c\)
    4. \( x³-4x²+5x+c\)
    5. \( -x³+2x²+5x+c\)

Pembahasan :

Integral tentu dan Integral tak tentu 2

Contoh soal 2

(Soal Ebtanas 1996)

Diketahui \(f(x)= sin(2x-3)\), maka \(∫f(x)dx=\) …

  1. \( 2 cos (2x-3)+c\)
  2. \( ½ cos (2x-3)+c\)
  3. \( cos (2x-3)+c\)
  4. \( -½ cos (2x-3)+c\)
  5. \( -2 cos (2x-3)+c\)
\(∫f(x)dx=\\=∫sin (2x-3)dx\\=-½ cos (2x-3)+c\)

 

Perbedaan Integal Tentu dan Integral Tak Tentu

Berbeda dari integral tak tentu, integral tertentu memiliki batas-batas dan interval pengintegralan. Dinotasikan dengan:

\(\int ^{b}_{a}f(x)dx=\left[F(x)\right] ^{b}_{a}=F(b)-F(a)\)

dengan f(x) = integram, dimana \(f(x)=F'(x)\)

a,b = batas-batas pengintegralan

[a,b] = interval pengintegralan

Andaikan f(x) dan g(x) masing-masing adalah fungsi-fungsi kontinyu dan terdefinisi dalam [a,b] dan andaikan k adalah konstanta, maka:

Integral tentu dan Integral tak tentu 3

Untuk lebih memahami sifat-sifat integral tertentu, cermati dan pahami beberapa contoh soal berikut.

Contoh soal 1.

\(\int ^{2}_{-1}(x²+x-2)dx=\)…. (ebtanas 1991)

  1. -3
  2. -2½
  3. -1½
  4. 1½
  5. 3

Penyelesaian:

Integral tentu dan Integral tak tentu 4

Jika dalam sebuah kasus dimana F'(x) diketahui dan kita diminta untuk menentukan nilai F(x) maka bisa diselesaikan dengan cara berikut:

Untuk menentukan fungsi F(x), jika diketahui maka F'(x) dapat dicari dengan rumus:

\(F(x)=∫F'(x)dx\)

Contoh:

Diketahui \(F'(x)=(x+1)(x+2)\), jika \(F(-3)=-\frac {3}{2}\) , maka tentukan F(x)!

dengan fungsi \(F(x)=∫F'(x)dx\), maka:

Integral tentu

Sehingga, \(F(x)=\frac {1}{3}x³+\frac {3}{2}x²+2x\)

Demikian pembahasan materi kali ini semoga bermanfaat, jika ada yang kurang jelas silahkan tinggalkan pesan di kolom komentar.

Daftar Pustaka:

  1. Cunayah, Cucun dan Etsa Indra Irawan. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya. 2013.