Perhatian!Rumus error? gunakan google chrome atau firefox

Memahami Konsep dan Contoh Soal Notasi Sigma

Notasi sigma atau notasi penjumlahan merupakan salah satu materi matematika dasar yang sangat penting untuk dipelajari sebaga dasar untuk mempelajari matematika tingkat lanjut seperti kalkulus dan statistika. Bentuk lain yang juga mirip dengan notasi sigma atau notasi penjumlahan adalah notasi perkalian atau biasa disebut notasi product.

Pengertian Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)

Lambang Notasi Sigma
Notasi Sigma

Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah.

Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang, dan rumut yang terdiri dari suku-suku atau deret. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

\(\sum_{i=1}^6\), artinya i yang merupakan indeks bergerak dari 1 sampai 6. Ganti i dengan angka 1-6 secara ber urut dengan cara menjumlahkan. karena lambang Σ menunjukan perintah untuk menjumlah.

Rumus Notasi Sigma

Notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut.

\(U_1+U_2+U_3+\dots U_n=\sum^n_{i=1}{U_i}\)

Dengan:

i = indeks penjumlahan
1 = batas bawah penjumlahan
n = batas atas penjumlahan
{1,2,3, …,n} = wilayah penjumlahan

Sehingga bisa dibaca penjumlahan suku Ui untuk i = 1 sampai dengan i = n.

Sifat-sifat Umum Notasi Sigma

Terdapat banyak sekali contoh kasus, atau model soal notasi sigma yang bisa anda teukan, karena sejatinya untuk menguji pemahaman anda soal matematika selalu dibolak balik. Jika anda paham konsep sebenarnya, maka bagaimanapun bentuk kasusnya akan dengan mudah untuk dikerjakan. Ada beberapa sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan, agar mempermudah penyelesaian kasus yang anda temui. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma dapat dijelaskan sebagai berikut:sifat-sifat notasi sigma

Untuk lebih memahami materi Notasi Sigma, perhatikan dan pahami contoh soal serta pembahasan berikut.

Contoh soal 1

\(1+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\), manakah bentuk yang tepat …

contoh soal dan penyelesaian notasi sigma

Pembahasan:

karena  \(1+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\) sebenarnya sama dengan  \(\frac {1}{1}+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\) maka, pertama-tama, cari dulu suku umumnya. Cara manualnya adalah dengan mencoba satu persatu opsi. Perhatikan.

Cek opsi A.

\(\sum^{5}_{i=5} \frac{2}{2i+1}\), batas bawah dimulai dari 1, dan batas atas sampai dengan 5, dengan fungsi \(\frac{2}{2i+1}\). Dengan memeriksa suku pertamanya satu persatu diperoleh;

\(U_1=\frac{2}{2(1)+1}=\frac{2}{3}\\ U_5=\frac{2}{2(5)+1}=\frac{2}{11} \)

Perhatikan, apakah dua suku itu ada pada soal? Di soal, U1 seharusnya 1/1, sementara jika menggunakan fungsi opsi A, hasil U1 yang didapat adalah 2/3. Begitu juga dengan U5, bernilai 2/11 juga tidak seharusnya ada . Itu berarti opsi A, salah.

Silahkan lanjutkan ke opsi lainnya, namun saya sarankan anda cukup mengecek suku pertama terlebih dahulu seperti cara diatas, jika tidak memenuhi syarat artinya silahkan lanjutkan ke opsi lain. Saya yakin anda bisa melihat jawabannya tanpa perlu mengujinya satu persatu kan?

Dengan cara yang sama anda akan melihat pilihan B adalah pilihan yang tepat, cukup masukkan nilai 1 untuk mengganti untuk suku pertama, sehingga:

\(U_1=\frac{1}{2(1)-1}=\frac{1}{1}\\ U_5=\frac{5}{2(5)-1}=\frac{5}{9} \)

Jika anda paham arti \(\sum_{i=1}^6 xi=x1+x2+x3+x4+x5+x6\) maka cara yang sama anda lakukan pada model diatas. Jumlahkan setiap suku sampai sebanyak batas atas notasi sigma. Sehingga jika di jabarkan opsi B akan membentuk penjumlahan panjang sebagai berikut :

\(\sum_{i=1}^6 \frac {i}{2i-1}\), ganti semua indeks i dengan nilai 1-6

\(\sum_{i=1}^6  \frac {i}{2i-1}=\frac {1}{2\times (1)-1}+\frac {2}{2\times (2)-1}+\frac {3}{2\times (3)-1}+ \frac {4}{2\times(4)-1} +\frac {5}{2\times(5)-1}+\frac {6}{2\times(6)-1}\\=\frac {1}{1}+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+\frac {4}{7}+\frac {5}{9}+\frac {6}{11}\)

Contoh soal 2

Berapakah nilai \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k)\) (Ebtanas 1999)

contoh soal dan penyelesaian notasi sigma 2

Pembahasan :

Melihat bentuk \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k)\) sehingga kita dapat selesaikan menggunakan sifat nomor 5(a), Kita jabarkan sebagai berikut:

\(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k) = \sum_{k=1}^4 3k^2+ \sum_{k=1}^4 4k\)

Kemudian, karena masing-masing notasi sigma terdapat konstanta, maka sesuai sifat nomor 4, dapat dijabarkan lagi sebagai berikut:

\(\sum_{k=1}^4 3k^2+ \sum_{k=1}^4 4k = 3 \sum_{k=1}^4 k^2+4 \sum_{k=1}^4 k \)

Setelahnya, lakukan penjumlahan sesuai dengan penjabaran sifat ke-4. Yakni dengan mengganti k dengan batas-batas penjumlahan, dimulai dari batas bawah = 1, dilanjutkan dengan 2, 3 dan terakhir adalah batas akhir = 4.

Maka,

\(3 \sum_{k=1}^4 k^2+4 \sum_{k=1}^4 k \)

 

= 3 (12 + 22 + 32 + 42) + 4 (1 + 2 + 32+ 4)

\(= 3(30) + 4(10) = 310\)

Jadi nilai dari \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k) = 310\) (E)

Notasi Sigma Untuk Deret

Notasi Sigma seringkali digunakan dalam induksi matematika untuk membuktikan suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli. Perhatikan contoh soal berikut.

Buktikan bahwa jumlah n suku pertama bilangan ganjil adalah n2

Penyelesaian:

Ingat deret bilangan ganjil ini:

\( 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) =\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2\)

Kita dapat menguji kebenaran model tersebut dengan n = 1

\( \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = 2(1)-1 = n^2 \)

Jika pernyataan di atas benar untuk n = k, maka buktikan bahwa bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, dengan hasil (k + 1)2

Notasi sigma dalam deret

Maka Terbukti pernyataan tersebut benar.

Deskripsi: Notasi Sigma sangat penting karena banyak digunakan dalam materi lain seperti barisan dan deret serta induksi matematika. Notasi sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan yang panjang dari suku-suku suatu deret. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

Daftar Pustaka:

  1. Cunayah, Cucun dan Etsa Indra Irawan. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya. 2013.
print

Tinggalkan Pesan

Loading Facebook Comments ...
One Comment

Add a Comment

Your email address will not be published. Required fields are marked *

Show Buttons
Hide Buttons
Read previous post:
Tutorial Uji Eksak Fisher Dengan Menggunakan SPSS

Tutorial Uji Eksak Fisher dengan SPSS- Uji Eksak Fisher adalah...

Cara menghitung nilai rata-rata dalam statistika

Dalam artikel ini akan saya menjelaskan mengenai cara menghitung nilai...

Close