Pengertian Notasi Sigma: Contoh Soal dan Pembahasannya

P

Notasi sigma atau notasi penjumlahan merupakan salah satu materi matematika dasar yang sangat penting untuk dipelajari sebagai dasar untuk mempelajari matematika tingkat lanjut seperti kalkulus dan statistika. Bentuk lain yang juga mirip dengan notasi sigma atau notasi penjumlahan adalah notasi perkalian atau biasa disebut notasi product.

Pengertian Notasi Sigma (Notasi Penjumlahan)

Lambang Notasi Sigma
Notasi Sigma

Notasi Sigma yang ditulis dengan lambang Σ adalah sebuah tanda yang digunakan untuk menuliskan suatu penjumlahan secara singkat. Lambang notasi sigma merupakan huruf besar Yunani yang berasal dari kata asing “sum” yang artinya jumlah.

Tujuan dari penggunaan notasi ini adalah untuk meringkas penjumlahan yang panjang dan rumit yang terdiri dari suku-suku atau deret tertentu. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam menulis penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

Mengenal Notasi Sigma
Mengenal Notasi Sigma

\(\sum_{i=1}^5\), artinya i yang merupakan indeks bergerak dari 1 sampai 5. Ganti i dengan angka 1-5 secara berurutan dengan cara menjumlahkannya. karena lambang Σ menunjukan perintah untuk menjumlahkan.

Rumus Notasi Sigma

Notasi sigma dapat didefinisikan sebagai berikut:

\(U_1+U_2+U_3+\dots U_n=\sum^n_{i=1}{U_i}\)

Dengan:

  • i = indeks penjumlahan
  • 1 = batas bawah penjumlahan
  • n = batas atas penjumlahan
  • {1,2,3, …,n} = wilayah penjumlahan

Sehingga bisa dibaca penjumlahan suku Ui untuk i = 1 sampai dengan i = n.

Sifat-sifat Umum Notasi Sigma

Terdapat banyak sekali contoh kasus, atau model soal notasi sigma yang bisa anda teukan, karena sejatinya untuk menguji pemahaman anda soal matematika selalu dibolak balik. Jika anda paham konsep sebenarnya, maka bagaimanapun bentuk kasusnya akan dengan mudah untuk dikerjakan.

Ada beberapa sifat notasi sigma yang perlu diperhatikan, agar mempermudah penyelesaian kasus yang anda temui. Adapun sifat-sifat yang berlaku pada notasi sigma dapat dijelaskan sebagai berikut:

Sifat umum notasi sigma
Sifat umum notasi sigma

Untuk lebih memahami materi Notasi Sigma, perhatikan dan pahami contoh soal serta pembahasan berikut ini:

Contoh Soal Notasi Sigma I

\(1+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\), manakah bentuk yang tepat:

contoh soal dan penyelesaian notasi sigma
  • Pembahasan:

karena  \(1+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\) sebenarnya sama dengan  \(\frac {1}{1}+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+ \dots +\frac {6}{11}\) maka, pertama-tama, cari dulu suku umumnya. Cara manualnya adalah dengan mencoba satu persatu opsi. Perhatikan.

Cek opsi A. \(\sum^{5}_{i=1} \frac{2}{2i+1}\)

Batas bawah dimulai dari 1, dan batas atas sampai dengan 5, dengan fungsi \(\frac{2}{2i+1}\). Dengan memeriksa suku pertamanya satu persatu diperoleh:

\(U_1=\frac{2}{2(1)+1}=\frac{2}{3}\ U_5=\frac{2}{2(5)+1}=\frac{2}{11} \)

Perhatikan, apakah dua suku itu ada pada soal? Di soal, U1 seharusnya 1/1, sementara jika menggunakan fungsi opsi A, hasil U1 yang didapat adalah 2/3. Begitu juga dengan U5, bernilai 2/11 juga tidak seharusnya ada . Itu berarti opsi A, salah.

Silahkan lanjutkan ke opsi lainnya, namun saya sarankan anda cukup mengecek suku pertama terlebih dahulu seperti cara diatas, jika tidak memenuhi syarat artinya silahkan lanjutkan ke opsi lain. Saya yakin anda bisa melihat jawabannya tanpa perlu mengujinya satu persatu kan?

Dengan cara yang sama anda akan melihat pilihan B adalah pilihan yang tepat, cukup masukkan nilai 1 untuk mengganti untuk suku pertama, sehingga:

\(U_1=\frac{1}{2(1)-1}=\frac{1}{1}\ U_5=\frac{5}{2(5)-1}=\frac{5}{9} \)

Jika anda paham arti \(\sum_{i=1}^6 xi=x1+x2+x3+x4+x5+x6\) maka cara yang sama anda lakukan pada model diatas. Jumlahkan setiap suku sampai sebanyak batas atas notasi sigma. Sehingga jika di jabarkan opsi B akan membentuk penjumlahan panjang sebagai berikut :

\(\sum_{i=1}^6 \frac {i}{2i-1}\), ganti semua indeks i dengan nilai 1-6:

\(\sum_{i=1}^6  \frac {i}{2i-1}=\frac {1}{2\times (1)-1}+\frac {2}{2\times (2)-1}+\frac {3}{2\times (3)-1}+ \frac {4}{2\times(4)-1} +\frac {5}{2\times(5)-1}+\frac {6}{2\times(6)-1}\\=\frac {1}{1}+\frac {2}{3}+\frac {3}{5}+\frac {4}{7}+\frac {5}{9}+\frac {6}{11}\)

Contoh Soal Notasi Sigma II

Berapakah nilai \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k)\) (Ebtanas 1999)

contoh soal dan penyelesaian notasi sigma 2
  • Pembahasan:

Melihat bentuk \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k)\) sehingga kita dapat selesaikan menggunakan sifat nomor 5(a), Kita jabarkan sebagai berikut:

\(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k) = \sum_{k=1}^4 3k^2+ \sum_{k=1}^4 4k\)

Kemudian, karena masing-masing notasi sigma terdapat konstanta, maka sesuai sifat nomor 4, dapat dijabarkan lagi sebagai berikut:

\(\sum_{k=1}^4 3k^2+ \sum_{k=1}^4 4k = 3 \sum_{k=1}^4 k^2+4 \sum_{k=1}^4 k \)

Setelahnya, lakukan penjumlahan sesuai dengan penjabaran sifat ke-4. Yakni dengan mengganti k dengan batas-batas penjumlahan, dimulai dari batas bawah = 1, dilanjutkan dengan 2, 3 dan terakhir adalah batas akhir = 4.

Maka, akan didapatkan perhitungan lanjutan sebagai berikut:

\(3 \sum_{k=1}^4 k^2+4 \sum_{k=1}^4 k \)

= 3 (12 + 22 + 32 + 42) + 4 (1 + 2 + 32+ 4)

\(= 3(30) + 4(10) = 310\)

Jadi nilai dari \(\sum_{k=1}^4 (3k^2+4k) = 310\) (E)

Notasi Sigma Untuk Deret

Notasi Sigma seringkali digunakan dalam induksi matematika untuk membuktikan suatu pernyataan umum mengenai deret yang berlaku untuk setiap bilangan asli. Perhatikan contoh soal berikut.

Soal Notasi Sigma untuk Deret

Buktikan bahwa jumlah n suku pertama bilangan ganjil adalah n2

  • Pembahasan:

Ingat deret bilangan ganjil ini:

\( 1 + 3 + 5 + … + (2n-1) =\sum_{i=1}^{n}(2i-1)=n^2\)

Kita dapat menguji kebenaran model tersebut dengan n = 1

\( \sum_{i=1}^{n} (2i-1) = 2(1)-1 = n^2 \)

Jika pernyataan di atas benar untuk n = k, maka buktikan bahwa bahwa pernyataan tersebut juga benar untuk n = k + 1, dengan hasil (k + 1)2

Notasi sigma dalam deret
Pembuktian notasi sigma

Maka Terbukti pernyataan tersebut benar.

Catatan tambahan: Notasi Sigma sangat penting karena banyak digunakan dalam materi lain seperti barisan dan deret serta induksi matematika. Notasi sigma digunakan untuk meringkas penjumlahan yang panjang dari suku-suku suatu deret. Dalam kata lain, notasi sigma memiliki fungsi untuk mempermudah dalam penghitungan suatu penjumlahan yang panjang.

Referensi:

  • Cunayah, Cucun dan Etsa Indra Irawan. 1700 Bank Soal Bimbingan Pemantapan Matematika untuk SMA/MA. Bandung: Yrama Widya. 2013.

About the author

Dita Yuwono

3 Comments